Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2004 год

Точка $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Некоторая окружность проходит через точки $B$ и $C$ и пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника. На ее дуге, лежащей внутри треугольника, выбраны точки $D$ и $E$ так, что отрезки $BD$ и $CE$ проходят через точку $O$. Перпендикуляр $DD_1$ к стороне $AB$ и перпендикуляр $EE_1$ к стороне $AC$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что точки $A$, $M$ и $O$ лежат на одной прямой. ( Ф. Бахарев )

Комментарий/решение

Окружность пересекает стороны $AB,AC$ в $X,Y$ соответственно.

$\angle D_1DB=90^\circ-\angle D_1BO=90^\circ-(90^\circ-\angle BCA)=\angle BCA \Leftrightarrow Y$ лежит на $DD_1.$ Таким же образом $X$ лежит на $EE_1.$

Тогда $M$ - ортоцентр $AXY.$ $AO \bot XY \Rightarrow$ $A,M,O$ лежат на одной прямой.