Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2004 жыл

$O$ нүктесі, $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған үшбұрыштың центрі. Бір шеңбер $B$ және $C$ нүктелері арқылы өтіп $AB$ және $AC$ қабырғаларын қияды. Осы шеңбердің, үшбұрыш ішінде орналасқан доғасының бойынан, $BD$ және $CE$ кесінділері $O$ нүктесі арқылы өтетіндей, $D$ және $E$ нүктелері алынған. $AB$ қабырғасына жүргізілген перпендикуляр $D{{D}_{1}}$ және $AC$ қабырғасына жүргізілген перпендикуляр $E{{E}_{1}}$, $M$ нүктесінде қиылысады. $A$, $M$ және $O$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( Ф. Бахарев )

Комментарий/решение

Окружность пересекает стороны $AB,AC$ в $X,Y$ соответственно.

$\angle D_1DB=90^\circ-\angle D_1BO=90^\circ-(90^\circ-\angle BCA)=\angle BCA \Leftrightarrow Y$ лежит на $DD_1.$ Таким же образом $X$ лежит на $EE_1.$

Тогда $M$ - ортоцентр $AXY.$ $AO \bot XY \Rightarrow$ $A,M,O$ лежат на одной прямой.