Районная олимпиада, 2004-2005 учебный год, 8 класс

Найти сумму $\dfrac{1}{{1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \ldots + \dfrac{1}{{\sqrt {2004} + \sqrt {2005} }}.$

Комментарий/решение

Ответ:$\sqrt{2005}-1$

Решение. Начнем с того что $ \dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} $. Преобразуя таким образом, получим, что серединка взаимоуничтожатся, из чего и следует ответ

Қосындыны табу үшін бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтыламыз:

$\frac{1}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+ \dots + \frac{1}{\sqrt{2005}+\sqrt{2004}} \cdot \frac{\sqrt{2005}-\sqrt{2004}}{\sqrt{2005}-\sqrt{2004}}=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+ \dots + \sqrt{2004}-\sqrt{2003}+\sqrt{2005}-\sqrt{2004}= \sqrt{2005}-1$