Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2004 жыл

Натурал $m$ және $n$ сандары үшін, $m > {{n}^{n-1}}$ және $m+1$, $m+2$, $\ldots$, $m+n$ құрмалас сандар екені белгілі. $k=1,2,\ldots,n$ үшін, $m+k$ ${{p}_{k}}$-ға бөлінетіндей, ${{p}_{1}}$, ${{p}_{2}}$, $\ldots$, ${{p}_{n}}$ жай сандар бар екенін дәлелдеңіз. ( C.A.Grimm )

Комментарий/решение

Заметим что $m>n^{n-1}>lcm[1,2,…,n-1]=q$

Определим $a_j=\dfrac{m+j}{gcd(m+j,q)} \forall j \in [1,2,..,n]$

Из неравенство $a_j>1$, и допустим что $\exists j,i$ так что $p | a_j, a_i$ тогда:

$V_p(m+j) > V_p(gcd(m+j,q))=MIN[V_p(m+j);V_p(q)] \Rightarrow V_p(m+j) > V_p(q)$ и аналогично $V_p(m+i) > V_p(q)$ что ведет к тому что $|j-i|$ делится на $p^{V_p(q)}$, но $q$ делится на $j-i$ отсюда противоречие.

Значит все $a_j$ взаимно просты и беря с каждого по одному простому числу, мы доказываем задачу.