Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2003 год

В четырехугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ равны, $\angle A=150^\circ$, $\angle B=44^\circ$, $\angle C=72^\circ$. Серединный перпендикуляр к отрезку $AD$ пересекает сторону $BC$ в точке $P$. Найдите $\angle APD$.

Комментарий/решение

Возьмем $\angle PAD=\angle PDA=\alpha$. Тогда будет, $\angle BPA=\alpha-14$ , $\angle DPC=\alpha+14$. По теореме синусов в $\triangle BPA$ и $\triangle DPC$ $$\frac{\sin44}{\sin\alpha-14}=AP/AB=PD/CD=\frac{\sin72}{\sin\alpha+14}$$ . Возьмем $72=x$, $\alpha+14=y$. Тогда $$\frac{sinx}{siny}=\frac{sin(x-28)}{sin(y-28)}$$ . $$\Rightarrow \sin28*sin(y-x)=0$$ . $$\Rightarrow y=x$$ . $$\alpha+14=72$$ $$\alpha=58$$ . $$\angle APD=180-2*58=64$$ .