Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2003 жыл

$ABCD$ тіктөртбұрышында, $AB$ және $CD$ қабырғалары тең, $\angle A=150{}^\circ$, $\angle B=44{}^\circ$, $\angle C=72{}^\circ$. $AD$ кесіндісіне жүргізілген орта перпендикуляр $BC$ қабырғасын $P$ нүктесінде қияды. $\angle APD$ бұрышын табыңыз.

Комментарий/решение

Возьмем $\angle PAD=\angle PDA=\alpha$. Тогда будет, $\angle BPA=\alpha-14$ , $\angle DPC=\alpha+14$. По теореме синусов в $\triangle BPA$ и $\triangle DPC$ $$\frac{\sin44}{\sin\alpha-14}=AP/AB=PD/CD=\frac{\sin72}{\sin\alpha+14}$$ . Возьмем $72=x$, $\alpha+14=y$. Тогда $$\frac{sinx}{siny}=\frac{sin(x-28)}{sin(y-28)}$$ . $$\Rightarrow \sin28*sin(y-x)=0$$ . $$\Rightarrow y=x$$ . $$\alpha+14=72$$ $$\alpha=58$$ . $$\angle APD=180-2*58=64$$ .