Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2002 год

Прямоугольная доска с 2001 строчками и 2002 столбцами разбита на прямоугольники $1\times 2$. Известно, что в любом другом разбиении этой доски на прямоугольники $1\times 2$ найдется прямоугольник, содержавшийся и в исходном разбиении. Докажите, что в исходном разбиении имеются два соседних столбца таблицы, заполненные 2001 горизонтальным прямоугольником. ( С. Волчёнков )