Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2002 жыл

${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{B}_{1}}{{B}_{2}}{{C}_{1}}{{C}_{2}}$ дөңес алтыбұрышын құрайтындай, $ABC$үшбұрышына іштей сызылған шеңбермен центрлeс шеңбер, үшбұрыштың қабырғаларын алты нүктеде қияды(${{A}_{1}}$ және ${{A}_{2}}$ нүктелері $BC$ қабырғасында, ${{B}_{1}}$ және ${{B}_{2}}$ нүктелері $AC$ қабырғасында, ${{C}_{1}}$ және ${{C}_{2}}$ нүктелері $AB$ қабырғасында жатыр). Егер ${{A}_{1}}{{B}_{1}}$ түзуі $B$ бұрышының биссектрисасына параллель болса, ${{A}_{2}}{{C}_{2}}$ түзуі $C$ бұрышының биссектрисасына параллель екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

$I$ - инцентр.

Окружность симметрична относительно биссектрис углов треугольника $ABC$.

Тогда верно, что $BI$ - серединный перпендикуляр к $A_1C_2 \Rightarrow \angle C_2A_1B_1 = 90=\angle C_2A_2B_1$, а также $CI \bot A_2B_1$, поэтому $A_2C_2||CI.$