Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2002 жыл

Көбейтіндісі 1-ге тең болатын оң $a$, $b$ және $c$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер: $\dfrac{1+ab}{1+a}+\dfrac{1+bc}{1+b}+\dfrac{1+cd}{1+c}+\dfrac{1+da}{1+d}\ge 4.$ ( А. Храбров )

Комментарий/решение

$$a=\frac{x}{y}, \quad b=\frac{z}{x} , \quad c=\frac{t}{z} , \quad d=\frac{y}{t} \Rightarrow$$

$$\Rightarrow S = \frac{y+z}{x+y} + \frac{t+x}{x+z}+\frac{y+z}{t+z}+\frac{t+x}{t+y} \geq 4$$

$$\color{blue}{\forall m,n >0: \quad (m-n)^2\geq 0 \Leftrightarrow \frac{m}{n}+\frac{n}{m} \geq 2 \Leftrightarrow} \color{red}{ \frac{1}{m}+\frac{1}{n} \geq \frac{4}{m+n}}$$

$$S= (y+z) \Bigg( \frac{1}{x+y}+\frac{1}{t+z}\Bigg)+(t+x) \Bigg( \frac{1}{t+y}+\frac{1}{x+z}\Bigg)\geq \frac{4(y+z)}{x+y+z+t}+\frac{4(t+x)}{x+y+z+t}=\frac{4(x+y+z+t)}{x+y+z+t}=4$$

Вы неправильно поняли условие там сумма дробей а не произведение