Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2001 год

На доске были выписаны несколько рациональных чисел. Дима списал на бумажку их дробные части. Потом все числа на доске возвели в квадрат, и Дима списал на другую бумажку дробные части получившихся чисел. Оказалось, что на Диминых бумажках написаны одинаковые наборы чисел (может быть, отличающиеся порядком). Докажите, что исходные числа на доске были целыми. (Дробная часть числа $x$ — такое число $\{x\}$, $0\leq\{x\} < 1$, что $x-\{x\}$ — целое.) ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Пусть на доске написаны числа $a_1, a_2, ... , a_n$, тогда {$a_1$}$+${$a_2$}$+...+${$a_n$} $=$ {$a^2_1$} $+ ... +$ {$a_n^2$}. Легко заметить что {$a_k$} $\ge 0, \Rightarrow$ {$a_k$} $\ge$ {$a_k^2$}. Так как наши цифры рациональные, {$a_1$}$+${$a_2$}$+...+${$a_n$} $>$ {$a^2_1$} $+ ... +$ {$a_n^2$}, что не соответствует условию, поэтому {$a_1$}, {$a_2$} $, ... , $ {$a_n$} $ = 0 \Rightarrow a_1, a_2, ... , a_n \in \mathbb{Z}$