Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2001 жыл

Тақтаға бірнеше рационал сандар жазылған. Дима осы сандардың бөлшек бөліктерін жеке қағазға жазып алды. Тақтадағы барлық сандарды квадраттағаннан кейін, Дима осы сандардын бөлшек бөліктерін қайтадан басқа қағазға жазып алды. Диманың қағаздарында бірдей сандар жиыны жазылғандығы анықталды (сандар қатарында айырмашылық болуы мүмкін). Алғашқы тақтаға жазылған сандар, бүтін болғандығын дәлелдеңіз.(Санның бөлшек бөлігі — $\left\{ x \right\}$, $0\le \left\{ x \right\} < 1$ және $x-\left\{ x \right\}$ — бүтін бөлігі.) ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Пусть на доске написаны числа $a_1, a_2, ... , a_n$, тогда {$a_1$}$+${$a_2$}$+...+${$a_n$} $=$ {$a^2_1$} $+ ... +$ {$a_n^2$}. Легко заметить что {$a_k$} $\ge 0, \Rightarrow$ {$a_k$} $\ge$ {$a_k^2$}. Так как наши цифры рациональные, {$a_1$}$+${$a_2$}$+...+${$a_n$} $>$ {$a^2_1$} $+ ... +$ {$a_n^2$}, что не соответствует условию, поэтому {$a_1$}, {$a_2$} $, ... , $ {$a_n$} $ = 0 \Rightarrow a_1, a_2, ... , a_n \in \mathbb{Z}$