Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2001 жыл

Дөңес $ABCD$ тіктөртбұрышында $DA$ және $CB$ сәулелері $Q$ нүктесінде, ал $BA$ және $CD$ сәулелері $P$ нүктесінде қылысады. $\angle AQB=\angle APD$ екені белгілі болды. $\angle AQB$ бұрышының биссектрисасы $AB$ және $CD$ қабырғаларын сәйкесінше $X$ және $Y$ нүктелерінде қияды, ал $\angle APD$ бұрышының биссектрисасы $AD$ және $BC$ қабырғаларын сәйкесінше $Z$ және $T$ нүктелерінде қияды. $ZQT$ және $XPY$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер $K$ нүктесінде қиылысады. $K$ нүктесі $AC$ диагональінде жататынын дәлелдеңіз. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

$$ \angle AQB= \angle APD=2\alpha$$

$$1) \quad \angle AQX = \angle APZ=\alpha, \quad \angle XAQ=\angle ZAP \Rightarrow \triangle AQX \sim \triangle APZ$$

$$ 2) \quad \triangle AQX \sim \triangle APZ \Rightarrow \frac{AQ}{AX}=\frac{AP}{AZ} \Rightarrow AQ \cdot AZ=AX \cdot AP$$

$$3) \quad \begin{cases} AQ \cdot AZ=(R_1-AO_1)(R_1+AO_1)=R_1^2-AO_1^2=-\deg_A \omega(R_1, \triangle ZQT) \\ AP \cdot AX=(R_2-AO_2)(R_2+AO_2)=R_2^2-AO_2^2=-\deg_A \omega(R_2, \triangle XPY)\end{cases}\Rightarrow $$

$$ \Rightarrow \deg_A \omega(R_1, \triangle ZQT)=\deg_A \omega(R_2, \triangle XPY)\Rightarrow A\in radialaxis(\omega(R_1, \triangle ZQT) ,\omega(R_2, \triangle XPY))$$

$$\Rightarrow C,K \in radialaxis(\omega(R_1, \triangle ZQT) ,\omega(R_2, \triangle XPY)), \quad \omega(R_1, \triangle ZQT) \cap \omega(R_2, \triangle XPY)=K\Rightarrow$$

$$ \Rightarrow A,C,K \in radialaxis(\omega(R_1, \triangle ZQT) ,\omega(R_2, \triangle XPY)) \Rightarrow K \in AC$$