Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2000 год

Вписанная в ромб окружность касается его сторон $AB$ и $BC$ в точках $E'$ и $F'$. Касательная $l$ пересекает $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$. Докажите, что произведение $AE\cdot CF$ не зависит от выбора касательной $l$.

Комментарий/решение

1)Факт - диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят друг друга пополам

2)Назовем ромб $ABCD$. Точка пересечения диагоналей - $O$. Свяжем систему координат с диагоналями, центр ПДСК - точка $O$. Координаты назначим так:

$$A(-a;0);\;B(0;b);\;C(a;0);\;D(0;-b);\;O(0;0)$$

3)Назовем вписанную окружность $\omega$. Зададимся радиусом $R$. Касательная $l$ к $\omega$ описывается уравнением

$$l:\;\;\;Ax+By+C=0$$

Точка $M$ - точка касания $l$ и $\omega$. Тогда $M\in \omega\Rightarrow M(R\cos\varphi;R\sin\varphi)$, где $\varphi$ - произвольный угол.

4) $l\bot OM\Rightarrow \overrightarrow{n} = \overrightarrow{OM} = (R\cos\varphi;R\sin\varphi)$

подставим нормальный вектор $\overrightarrow{n}$ в уравнение прямой $l$

$$l:\;\;\;(R\cos\varphi)\cdot x+(R\sin\varphi)\cdot y+C=0$$

Подставляя точку $M$ в уравнение $l$, найдем, что $C = -R^2$

Окончательно уравнение прямой $l$

$$l:\;\;\;(\cos\varphi)\cdot x+(\sin\varphi)\cdot y-R=0$$

5) Уравнение прямой $AB$

$$AB:\;\;\;y=K\cdot x + C$$

Наклон $AB:\;\;K=\tan\angle BAC = b / a$

$$C = y(0)=b \Rightarrow y=\dfrac{b}{a}\cdot x + b$$

6)Уравнение прямой $BC:\;\;\;y=-\dfrac{b}{a}\cdot x + b$

7) $E = l \cap AB$

$$\begin{equation*} \begin{cases} y=\dfrac{b}{a}\cdot x + b \\ (\cos\varphi)\cdot x+(\sin\varphi)\cdot y-R=0 \end{cases}\end{equation*}\Rightarrow x_E = \dfrac{a(R-b\sin\varphi)}{a\cos\varphi + b\sin\varphi};$$

$$y_E = \dfrac{b(R+a\cos\varphi)}{a\cos\varphi + b\sin\varphi}$$

8) $F = l \cap BC$

$$\begin{equation*} \begin{cases} y=-\dfrac{b}{a}\cdot x + b \\ (\cos\varphi)\cdot x+(\sin\varphi)\cdot y-R=0 \end{cases}\end{equation*}\Rightarrow x_F = \dfrac{a(R-b\sin\varphi)}{a\cos\varphi - b\sin\varphi};$$

$$y_F = \dfrac{b(-R+a\cos\varphi)}{a\cos\varphi - b\sin\varphi}$$

9)Переходим к финалу решения.

$$AE^2\cdot CF^2 = \left((x_A - x_E)^2 + (y_A - y_E)^2 \right)\cdot \left((x_C - x_F)^2 + (y_C- y_F)^2 \right)$$

$$y_A = y_C = 0\Rightarrow AE^2\cdot CF^2 = \left((x_A - x_E)^2 + y_E^2 \right)\cdot \left((x_C - x_F)^2 + y_F^2 \right)$$

$$AE^2\cdot CF^2 =\left(x_A^2 -2x_Ax_E+ x_E^2 + y_E^2 \right)\cdot \left(x_C^2 -2x_Cx_F+ x_F^2 + y_F^2 \right) $$

$$AE^2\cdot CF^2 = x_A^2x_C^2 - 2x_A^2x_Cx_F + x_A^2x_F^2 + x_A^2y_F^2 - 2x_Ax_Ex_C^2 + 4x_Ax_Ex_Cx_F-$$

$$- 2x_Ax_Ex_F^2 - 2x_Ax_Ey_F^2 + x_E^2x_C^2 - 2x_e^2x_Cx_F + x_E^2x_F^2 + x_E^2y_F^2 + y_E^2x_C^2 -$$

$$- 2y_E^2x_Cx_F + y_E^2x_F^2 + y_E^2y_F^2$$

$$AE^2\cdot CF^2=a^2$$

Не зависит от положения прямой $l$, так как не содержит угол $\varphi$