Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2000 жыл
Комментарий/решение:
1)Факт - диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят друг друга пополам
2)Назовем ромб ABCD. Точка пересечения диагоналей - O. Свяжем систему координат с диагоналями, центр ПДСК - точка O. Координаты назначим так:
A(−a;0);B(0;b);C(a;0);D(0;−b);O(0;0)
3)Назовем вписанную окружность ω. Зададимся радиусом R. Касательная l к ω описывается уравнением
l:Ax+By+C=0
Точка M - точка касания l и ω. Тогда M∈ω⇒M(Rcosφ;Rsinφ), где φ - произвольный угол.
4) l⊥OM⇒→n=→OM=(Rcosφ;Rsinφ)
подставим нормальный вектор →n в уравнение прямой l
l:(Rcosφ)⋅x+(Rsinφ)⋅y+C=0
Подставляя точку M в уравнение l, найдем, что C=−R2
Окончательно уравнение прямой l
l:(cosφ)⋅x+(sinφ)⋅y−R=0
5) Уравнение прямой AB
AB:y=K⋅x+C
Наклон AB:K=tan∠BAC=b/a
C=y(0)=b⇒y=ba⋅x+b
6)Уравнение прямой BC:y=−ba⋅x+b
7) E=l∩AB
{y=ba⋅x+b(cosφ)⋅x+(sinφ)⋅y−R=0⇒xE=a(R−bsinφ)acosφ+bsinφ;
yE=b(R+acosφ)acosφ+bsinφ
8) F=l∩BC
{y=−ba⋅x+b(cosφ)⋅x+(sinφ)⋅y−R=0⇒xF=a(R−bsinφ)acosφ−bsinφ;
yF=b(−R+acosφ)acosφ−bsinφ
9)Переходим к финалу решения.
AE2⋅CF2=((xA−xE)2+(yA−yE)2)⋅((xC−xF)2+(yC−yF)2)
yA=yC=0⇒AE2⋅CF2=((xA−xE)2+y2E)⋅((xC−xF)2+y2F)
AE2⋅CF2=(x2A−2xAxE+x2E+y2E)⋅(x2C−2xCxF+x2F+y2F)
AE2⋅CF2=x2Ax2C−2x2AxCxF+x2Ax2F+x2Ay2F−2xAxEx2C+4xAxExCxF−
−2xAxEx2F−2xAxEy2F+x2Ex2C−2x2exCxF+x2Ex2F+x2Ey2F+y2Ex2C−
−2y2ExCxF+y2Ex2F+y2Ey2F
AE2⋅CF2=a2
Не зависит от положения прямой l, так как не содержит угол φ
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.