Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2015 год


Существует ли неравнобедренный треугольник, который можно разрезать на 2015 различных равнобедренных треугольников?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
8 месяца 21 дней назад #

Ответ: да.

Очевидно треугольник с отношением углов AB=220151 подходит. Для этого надо просто рассмотреть две параллельные прямые: на первой возьмем точку A1, а на второй B и S. Будем проводить биссектрисы BAi+1 углов AiBS. Заметим, что каждый AiBAi+1 равнобедренный, так как AiBAi+1=Ai+1BS=AiAi+1B, как накрест лежащие. Таким образом можно проводить много-много биссектрис и получать новые равнобедренные треугольники, причем такие, что AiAi+1B=2Ai+1Ai+2B по теореме о внешнем угле. Следовательно, все треугольники равнобедренные и различные, а главное - их 2015 штук.