Қалалық Жәутіков олимпиадасы 9 сынып, 2015 жыл

2015 әртүрлі теңбүйірлі үшбұрыштарға кесілетін тең бүйірлі емес үшбұрыш бола ма?

Комментарий/решение

Ответ: да.

Очевидно треугольник с отношением углов $\frac{\angle A}{\angle B}=2^{2015}-1$ подходит. Для этого надо просто рассмотреть две параллельные прямые: на первой возьмем точку $A_1$, а на второй $B$ и $S$. Будем проводить биссектрисы $BA_{i+1}$ углов $\angle A_iBS$. Заметим, что каждый $\triangle A_iBA_{i+1}$ равнобедренный, так как $\angle A_iBA_{i+1}=\angle A_{i+1}BS=\angle A_iA_{i+1}B$, как накрест лежащие. Таким образом можно проводить много-много биссектрис и получать новые равнобедренные треугольники, причем такие, что $\angle A_iA_{i+1}B=2\angle A_{i+1}A_{i+2}B$ по теореме о внешнем угле. Следовательно, все треугольники равнобедренные и различные, а главное - их 2015 штук.