Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2015 год

Докажите, что при любом натуральном $n$ произведение $n$ чисел $$\left( 1+\frac{1}{3} \right)\left( 1+\frac{1}{8} \right)\left( 1+\frac{1}{15} \right)\left( 1+\frac{1}{24} \right)\cdot \ldots \cdot \left( 1+\frac{1}{{{n}^{2}}+2n} \right)$$ не превосходит 2.

Комментарий/решение

$\left(1+\cfrac{1}{3}\right)\left(1+\cfrac{1}{8}\right)\left(1+\cfrac{1}{15}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+\cfrac{1}{n^2+2n}\right)=$

$=\cfrac{2^2}{1\cdot3}\cdot\cfrac{3^2}{2\cdot4}\cdot\cfrac{4^2}{3\cdot5}\cdot\ldots\cdot\cfrac{n^2}{(n-1)(n+1)}\cdot\cfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}=$

$=\cfrac{2}{1}\cdot\cfrac{n+1}{n+2} < 2$