Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2015 год

Пусть дан треугольник $ABC$. На стороне $BC$ выбрана точка $A_1$, на стороне $BA$ выбрана точка $C_1$. Пусть $P$, $Q$, $D$ середины отрезков $A_1C$, $C_1A$, $AC$ соответственно. На луче $DP$ выбрана точка $E$ таким образом, что $DE=2DP$, на луче $DQ$ выбрана точка $F$ так, что $DF=2DQ$. Докажите, что $FA_1=EC_1$.

Комментарий/решение

${\triangle ADQ = \triangle C_1FQ}$, тогда ${C_1F=AD}$, ${C_1F \parallel AD}$.

$\triangle CDP = \triangle A_1EP$, тогда $A_1E=CD$, $A_1E \parallel CD$.

Значит $A_1E=C_1F$, $A_1E \parallel C_1F$, тогда $A_1EC_1F$ - параллелограмм и $A_1F=C_1E$.