Қалалық Жәутіков олимпиадасы 7 сынып, 2015 жыл

$ABC$ үшбұрышы берілсін. $BC$ қабырғасында $A_1$ нүктесі берілсін, $AB$ қабырғасында $C_1$ нүктесі берілсін. $P$, $Q$, $D$ нүктелері сәйкесінше $A_1C$, $C_1A$, $AC$ кесінділерінің ортасы. $DP$ сәулесінде $E$ нүктесі $DE=2DP$ болатындай, ал $DQ$ сәулесінде $F$ нүктесі $DF=2DQ$ болатындай таңдалды. $FA_1=EC_1$ екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

${\triangle ADQ = \triangle C_1FQ}$, тогда ${C_1F=AD}$, ${C_1F \parallel AD}$.

$\triangle CDP = \triangle A_1EP$, тогда $A_1E=CD$, $A_1E \parallel CD$.

Значит $A_1E=C_1F$, $A_1E \parallel C_1F$, тогда $A_1EC_1F$ - параллелограмм и $A_1F=C_1E$.