Математикадан аудандық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 10 сынып

$ABCD$ трапециясында $AB \parallel CD$, ал қабырғалары $AB=8$, $BC=5$, $CD=4$ және $AD=3$. Егер $E$ — $ADC$ және $BCD$ бұрыштарының биссектрисаларының қиылысу нүктесі болса, $CDE$ үшбұрышының ауданын тап.

Комментарий/решение

Для начала покажем, что точка $E$ лежит на прямой $AB$. Пусть это не так. Тогда $DE$ пересечет прямую $AB$ в точке $E_1$, а $CE$ пересечет прямую $AB$ в точке $E_2$. Тогда $\angle ADE_1=\angle E_1DC=\angle DE_1A$, откуда $\triangle ADE_1$ равнобедренный и $AD=AE_1=3$. Аналогично $CB=BE_2=5$, из чего следует, что точки $E, E_1, E_2$ совпадают. Теперь выясним высоту трапеции. Сделаем дополнительное построение. $CB||DF$. Треугольник $ADF$ прямоугольный , так как его стороны 3, 4 и 5. Из чего следует, что высота трапеции и вместе с тем искомого треугольника, равна $AD=3$, откуда $S_{CDE}=6$