Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 11 класс
Комментарий/решение:
Пусть a,b,c - остатки от деления количества хамелеонов на 3. Очевидно, что если в какой-то момент все хамелеоны стали одного цвета, то остатки равны нулю. Рассмотрим встречу хамелеонов как отображение f\colon \{a,b,c\} \to \{a-1 \pmod{3},b-1 \pmod{3},c+2 \pmod{3}\} , тогда получим:
\begin{array}{ccc} \{0,1,2\} & \rightarrow & \{2,0,1\} \\ \nwarrow & &\swarrow\\ &\{1,2,0\}& \end{array}
\begin{array}{ccc} \{0,2,1\} & \rightarrow & \{2,1,0\} \\ \nwarrow & &\swarrow\\ &\{1,0,2\}& \end{array}
Заметим, что отображением f невозможно получить нулевые остатки, значит хамелеоны не могут быть одного цвета.
Есептің шешуі}
Құбылғылардың көк, жасыл және қызыл түстерін сәйкесінше к, ж, қ әріптерімен белгілейік. Ендеше есеп шарты бойынша:
Егер к + ж = қ болса, онда 7(к + ж) = 7қ, яғни 7к + 7ж = 7қ. Барлығы 7қ + 11қ = 18қ (қызыл) құбылғы. Артық кездеспей қалған жасыл құбылғылар 9ж – 7ж = 2ж болады.
Егер ж + қ = к болса, онда 9ж + 9қ = 9к. Барлығы 9к + 7к = 16к құбылғы. 11қ – 9қ = 2қ. Бұл жолы кездесуден тыс қалған 2 қызыл құбылғы болады.
Егер к + қ = ж болса, онда 7к + 7қ = 7ж. Барлығы 7ж + 11ж = 18ж құбылғы. 11қ – 7қ = 4қ. Бұл жағдайда кездеспеген 4 қызыл құбылғы қалады. Бір мезетте барлық құбылғылардың түсі бірдей болу үшін артық, яғни кездесуден тыс қалатын құбылғылар болмау керек. Олай болса, бір мезетте барлық құбылғылардың түсі бір түске айналмайды.
Жауабы: Құбылғылардың түстері бірдей бола алмайды.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.