Математикадан аудандық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 11 сынып

Аралда 7 көк, 9 жасыл және 11 қызыл құбылғы өмір сүреді. Егер екі түсті құбылғы кездессе, екеуі де түсін үшінші түске өзгертеді (көк және жасыл — қызылға, тағы сол сияқты). Бір мезетте барлық құбылғылардың түстері бірдей бола ала ма?

Комментарий/решение

Пусть $a,b,c$ - остатки от деления количества хамелеонов на 3. Очевидно, что если в какой-то момент все хамелеоны стали одного цвета, то остатки равны нулю. Рассмотрим встречу хамелеонов как отображение $f\colon \{a,b,c\} \to \{a-1 \pmod{3},b-1 \pmod{3},c+2 \pmod{3}\} $, тогда получим:

$\begin{array}{ccc} \{0,1,2\} & \rightarrow & \{2,0,1\} \\ \nwarrow & &\swarrow\\ &\{1,2,0\}& \end{array}$

$\begin{array}{ccc} \{0,2,1\} & \rightarrow & \{2,1,0\} \\ \nwarrow & &\swarrow\\ &\{1,0,2\}& \end{array}$

Заметим, что отображением $f$ невозможно получить нулевые остатки, значит хамелеоны не могут быть одного цвета.

Есептің шешуі}

Құбылғылардың көк, жасыл және қызыл түстерін сәйкесінше $к, ж, қ$ әріптерімен белгілейік. Ендеше есеп шарты бойынша:

Егер $к + ж = қ$ болса, онда $7(к + ж) = 7қ$, яғни $7к + 7ж = 7қ$. Барлығы $7қ + 11қ = 18қ$ (қызыл) құбылғы. Артық кездеспей қалған жасыл құбылғылар $9ж – 7ж = 2ж$ болады.

Егер $ж + қ = к$ болса, онда $9ж + 9қ = 9к$. Барлығы $9к + 7к = 16к$ құбылғы. $11қ – 9қ = 2қ$. Бұл жолы кездесуден тыс қалған $2$ қызыл құбылғы болады.

Егер $к + қ = ж$ болса, онда $7к + 7қ = 7ж$. Барлығы $7ж + 11ж = 18ж$ құбылғы. $11қ – 7қ = 4қ$. Бұл жағдайда кездеспеген $4$ қызыл құбылғы қалады. Бір мезетте барлық құбылғылардың түсі бірдей болу үшін артық, яғни кездесуден тыс қалатын құбылғылар болмау керек. Олай болса, бір мезетте барлық құбылғылардың түсі бір түске айналмайды.

Жауабы: Құбылғылардың түстері бірдей бола алмайды.