55-я Международная Математическая OлимпиадаЮжно-Африканская Республика, Кейптаун, 2014 год

Пусть ${{a}_{0}} < {{a}_{1}} < {{a}_{2}} < \ldots $ — бесконечная последовательность целых положительных чисел. Докажите, что существует единственное целое число $n\ge 1$ такое, что ${{a}_{n}} < \dfrac{{{a}_{0}}+{{a}_{1}}+\cdots +{{a}_{n}}}{n}\le {{a}_{n+1}}.$

Комментарий/решение

Решение: Преобразуем условие

$$ na_n-a_1-a_2-\ldots-a_{n}<a_0\le (n+1)a_{n+1}-a_1-a_2-\ldots-a_{n}-a_{n+1}\quad (\color{red}{1})$$

Заменим $b_k=ka_k-a_1-a_2-\ldots-a_{k}.$ В частности $b_1=0,$ а так же

$$b_{k+1}-b_{k}=k(a_{k+1}-a_{k})>0, $$

следовательно у нас есть последовательность целых чисел

$$0=b_1<b_2<\ldots$$

Данная последовательность не ограничена сверху, поэтому очевидно существует единственное $n,$ что $a_0\in (b_n,b_{n+1}] \iff (\color{red}{1})$

Пусть такой $n$ не найдётся, тогда посмотрим когда $n = 1$:

$a_1 < a_0 + a_1 \le a_2$, левое нер-во очевидно выполняется, т.к. $a_0 > 0$, тогда правое нер-во неверно, т.е. $a_0 + a_1 > a_2$. По индукции докажем что левое нер-во всегда верно, имеем: $a_0 + a_1 + \dots + a_n > n \cdot a_{n+1}$,

$(!): (1 + n) a_{n+1} < a_0 + a_1 + \dots + a_{n+1} \iff (!): a_0 + a_1 + \dots + a_n > a_{n+1} \cdot n$, что верно.

Рассмотрим какой-то $n: a_0 + a_1 + \dots + a_n > n \cdot a_{n+1} \ge n(a_n + 1) = n a_n + n$, заметим что $a_n \cdot n > a_n + a_{n-1} + \dots + a_1$, тогда достаточно взять такой $n$, что он больше $a_0$, откуда выходит противоречие.

$\blacksquare$