55-я Международная Математическая OлимпиадаЮжно-Африканская Республика, Кейптаун, 2014 год

Пусть ${{a}_{0}} < {{a}_{1}} < {{a}_{2}} < \ldots$ — бесконечная последовательность целых положительных чисел. Докажите, что существует единственное целое число $n\ge 1$ такое, что ${{a}_{n}} < \dfrac{{{a}_{0}}+{{a}_{1}}+\cdots +{{a}_{n}}}{n}\le {{a}_{n+1}}.$

Комментарий/решение

Решение: Преобразуем условие

$$na_n-a_1-a_2-\ldots-a_{n}<a_0\le (n+1)a_{n+1}-a_1-a_2-\ldots-a_{n}-a_{n+1}\quad (\color{red}{1})$$

Заменим $b_k=ka_k-a_1-a_2-\ldots-a_{k}.$ В частности $b_1=0,$ а так же

$$b_{k+1}-b_{k}=k(a_{k+1}-a_{k})>0,$$

следовательно у нас есть последовательность целых чисел

$$0=b_1<b_2<\ldots$$

Данная последовательность не ограничена сверху, поэтому очевидно существует единственное $n,$ что $a_0\in (b_n,b_{n+1}] \iff (\color{red}{1})$