Математикадан 55-ші халықаралық олимпиада, 2014 жыл, Кейптаун
a0<a1<a2<… натурал сандарынан тұратын шексіз тізбегі берілген.
an<a0+a1+⋯+ann≤an+1 шартын қанағаттандыратын бір ғана бүтін n≥1 саны табылатынын дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Решение: Преобразуем условие
nan−a1−a2−…−an<a0≤(n+1)an+1−a1−a2−…−an−an+1(1)
Заменим bk=kak−a1−a2−…−ak. В частности b1=0, а так же
bk+1−bk=k(ak+1−ak)>0,
следовательно у нас есть последовательность целых чисел
0=b1<b2<…
Данная последовательность не ограничена сверху, поэтому очевидно существует единственное n, что a0∈(bn,bn+1]⟺(1)
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.