55-я Международная Математическая Oлимпиада
Южно-Африканская Республика, Кейптаун, 2014 год

Задача №1.  Пусть ${{a}_{0}} < {{a}_{1}} < {{a}_{2}} < \ldots$ — бесконечная последовательность целых положительных чисел. Докажите, что существует единственное целое число $n\ge 1$ такое, что ${{a}_{n}} < \dfrac{{{a}_{0}}+{{a}_{1}}+\cdots +{{a}_{n}}}{n}\le {{a}_{n+1}}.$
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Пусть $n\ge 2$ — целое число. Дана шахматная доска $n\times n$, состоящая из ${{n}^{2}}$ единичных клеток. Расстановка $n$ ладей в клетках этой доски называется мирной, если в каждом горизонтальном и в каждом вертикальном ряду находится ровно по одной ладье. Найдите наибольшее целое положительное $k$ такое, что для каждой мирной расстановки $n$ ладей найдется клетчатый квадрат $k\times k$, ни в одной из ${{k}^{2}}$ клеток которого нет ладьи.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, в котором $\angle ABC=\angle CDA=90{}^\circ$. Точка $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $BD$. Точки $S$ и $T$ выбраны на отрезках $AB$ и $AD$ соответственно так, что точка $H$ находится внутри треугольника $SCT$, и выполнены равенства $$\angle CHS-\angle CSB=90{}^\circ ,\quad \angle THC-\angle DTC=90{}^\circ .$$ Докажите, что прямая $BD$ касается окружности, описанной около треугольника $TSH$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №4.  Точки $P$ и $Q$ выбраны на стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ так, что $\angle PAB=\angle BCA$ и $\angle CAQ=\angle ABC$. Точки $M$ и $N$ выбраны на прямых $AP$ и $AQ$ соответственно так, что $P$ — середина отрезка $AM$, а $Q$ — середина отрезка $AN$. Докажите, что прямые $BM$ и $CN$ пересекаются на окружности, описанной около треугольника $ABC$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Банк Кейптауна выпускает монеты номиналом $\dfrac{1}{n}$ для каждого целого положительного числа $n$. Дан конечный набор таких монет, сумма номиналов которых не превосходит $99+\dfrac{1}{2}$ (номиналы монет не обязательно различны). Докажите, что все монеты этого набора можно разбить на 100 или меньшее число групп так, чтобы сумма номиналов монет в каждой группе не превышала 1.
комментарий/решение(1)

---

Задача №6.  Будем говорить, что прямые на плоскости являются прямыми общего положения, если никакие две из них не параллельны и никакие три из них не проходят через одну точку. Любые несколько прямых общего положения разбивают плоскость на части; ограниченными частями разбиения будем называть те из частей, которые имеют конечную площадь. Докажите, что для всех достаточно больших $n$ верно следующее утверждение: в каждом множестве из $n$ прямых общего положения можно покрасить не менее $\sqrt{n}$ прямых в синий цвет так, чтобы граница любой из ограниченных частей разбиения не оказалась полностью синей.
Замечание: за доказательство утверждения задачи, в котором $\sqrt{n}$ заменено на $c\sqrt{n}$, будут начисляться баллы, в зависимости от константы $c$.
комментарий/решение(1)

---