Математикадан 55-ші халықаралық олимпиада, 2014 жыл, Кейптаун

Есеп №1. ${{a}_{0}} < {{a}_{1}} < {{a}_{2}} < \ldots $ натурал сандарынан тұратын шексіз тізбегі берілген. ${{a}_{n}} < \dfrac{{{a}_{0}}+{{a}_{1}}+\cdots +{{a}_{n}}}{n}\le {{a}_{n+1}}$ шартын қанағаттандыратын бір ғана бүтін $n\ge 1$ саны табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. $n\ge 2$ бүтін саны берілген. Өлшемі $n\times n$ болатын ${{n}^{2}}$ бірлік шаршыдан тұратын шахмат тақтасы берілген. Егер әрбір қатарда және әрбір бағанда тек бір ғана ладья тұрса, онда $n$ ладьяның орналасуын бейбітшіл деп атаймыз. Әрбір $n$ ладьяның бейбітшіл орналасу кезінде ешқандай ${{k}^{2}}$ бірлік шаршысында ладья болмайтындай өлшемі $k\times k$ болатын тақта табылатындай ең үлкен $k$ санын табындар.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. $ABCD$ дөңес төртбұрышында $\angle ABC=\angle CDA=90{}^\circ $ екені белгілі. $H$ нүктесі $A$ нүктесінен $BD$-ға түсірілген биіктіктің табаны. $AB$ және $AD$ қабырғаларынан келесі шарттарды қанағаттандыратын сәйкесінше $S$ және $T$ нүктелері алынған: $H$ нүктесі $SCT$ үшбұрышының ішінде жатады және $$\angle CHS-\angle CSB=90{}^\circ ,\quad \angle THC-\angle DTC=90{}^\circ .$$ $BD$ түзуі $TSH$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңберін жанайтынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №4. $ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышының $BC$ қабырғасында $\angle PAB=\angle BCA$ және $\angle CAQ=\angle ABC$ болатындай $P$ және $Q$ нүктелері белгіленген. $P$ нүктесі $AM$ кесіндісінің ортасы және $Q$ нүктесі $AN$ кесіндісінің ортасы болатындай $AP$ және $AQ$ түзулерінде сәйкесінше $M$ және $N$ нүктелері алынған. $BM$ және $CN$ түзулері $ABC$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңберінде қиылысатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5. Кейп Таунның Банкі кез келген натурал $n$ саны үшін $\dfrac{1}{n}$ мәні бар тиындарды шығарады. Осындай тиындарының (мәндері бірдей болуы мүмкін) ең көп $99+\dfrac{1}{2}$ сомасы болатын шекті жиынтығы бар. Осы жиынтығын әрқайсысының сомасы 1-ден аспайтындай 100 немесе одан аз топқа бөлуге болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №6. Егер түзулер жиынында кез келген екеуі параллель емес және кез келген үшеуі бір нүктеде қиылыспаса, онда осы жиын жалпы жағдайда болады деп атаймыз. Жалпы жағдайда болатын түзулер жиыны жазықтықты бірнеше аймаққа кеседі, кейбір аймақтың ауданы шекті болады, осыларды біз шекті аймақтар деп атаймыз. Барлық жеткілікті үлкен $n$ үшін, кез келген жалпы жағдайда болатын $n$ түзуі үшін, әрбір шекті аймақтың шекарасы толығымен көк түстен тұрмайтындай кемінде $\sqrt{n}$ түзуін көк түске бояуға болатынын дәлелдеңдер.
Ескерту: $\sqrt{n}$ санын $c\sqrt{n}$ санына өзгертсек, $c$ константасына байланысты жұмыстар бағаланады.
комментарий/решение

---