Математикадан 54-ші халықаралық олимпиада, 2013 жыл, Санта Марта

$ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышында $H$ ортоцентрі және $BC$ кесіндісінде $B$ мен $C$ арасындағы $W$ нүктесі берілген. $B$ және $C$ төбелерінің биіктіктердің табандары $M$ және $N$ деп сәйкесінше белгіленген. $BWN$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңберді ${{\omega }_{1}}$ деп атайық, және $WX$ кесіндісі ${{\omega }_{1}}$-дің диаметрі болатын ${{\omega }_{1}}$ шеңбердің бойында жататын $X$ нүктесі алынған. Дәл осылай, $CWM$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңберді ${{\omega }_{2}}$ деп атайық, және $WY$ кесіндісі ${{\omega }_{2}}$-нің диаметрі болатын ${{\omega }_{2}}$ шеңбердің бойында жататын $Y$ нүктесін алайық. $X$, $Y$ және $H$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ также пересекаются в точке $M$,отличную от точки $W$.

Заметим,что точка $M$ является точкой Микеля,т.к. лежит на $(BWN),(AMN),(CWM)$.

$\angle XPW=90^\circ,\angle YPW=90^\circ,\angle APH=90^\circ \Rightarrow$ $X,Y,H$ коллинеарны

что за точка $P$

Пусть $T$ — пересечение $\omega_1$ и $\omega_2$,не точка $W$.

$\angle{XTW} = \angle{YTW} = 90$, поэтому $XTY$ — прямая линия. Пусть описанные окружности $NBW$ и $MWC$ будут $\omega_1$ и $\omega_2$ соответственно, и поскольку $BNMC$ вписанный пусть его описанная окружность равна $\omega_3$. Тогда каждая пара радикальных осей окружностей $BN, TW,$ и $MC$ должна пересекатся в одной точке пересечения $BN$ и $MC$, то есть $A$.Отсюда $T$ лежит на $AW$ $\angle{YTW} = 90^\circ$.Пусть $AH$ пересекает $BC$ в точке $L$, которая также является высотой к этой стороне. Следовательно, $\angle{ALB} = 90^\circ.$ Отсюда YT перпендикулярно AW. Мы знаем, что $NHLB$ является вписанным, поскольку сумма $\angle{BNH}$ и $\angle{BLH}$, противоположных и прямых углов, равна $180^\circ$. Кроме того, нам дано, что $NTWB$ вписанный . Следовательно, по степени точки,

$AT*AB = AH*AB = AH*AL$

Следовательно $THLW$ вписаный.

Следовательно, $\angle{WTH} = 180^\circ - \angle{WLH} = 90^\circ$, а значит, $HT$ также перпендикулярен $AW$. Объединив все утверждение , мы приходим к выводу, что $T, H, Y$ коллинеарны. Но поскольку $X$ лежит на $YT$, $X, Y, H$ лежат на одной прямой.