49-я Международная Математическая Oлимпиада
Испания, Мадрид, 2008 год
Пусть n и k такие натуральные числа, что k≥n, а число n−k четное. Имеется 2n лампочек, занумерованных числами 1, 2, …, 2n, каждая из которых может находиться в одном из двух состояний: вкл. (включена) или выкл. (выключена). Вначале все лампочки были выключены. Рассматриваются упорядоченные последовательности шагов: на каждом шаге ровно одна из лампочек меняет свое состояние на противоположное (с вкл. на выкл. либо с выкл. на вкл.). Обозначим через N количество последовательностей из k шагов, приводящих к ситуации, в которой все лампочки с 1-й по n-ю включены, а все лампочки с (n+1)-й по (2n)-ю выключены.
Обозначим через M количество последовательностей из к шагов, приводящих к ситуации, в которой также все лампочки с 1-й по n-ю включены, все лампочки с (n+1)-й по (2n)-ю выключены, но при этом ни одна из лампочек с (n+1)-й по (2n)-ю ни разу не меняла своего состояния. Найдите значение отношения NM.
посмотреть в олимпиаде
Обозначим через M количество последовательностей из к шагов, приводящих к ситуации, в которой также все лампочки с 1-й по n-ю включены, все лампочки с (n+1)-й по (2n)-ю выключены, но при этом ни одна из лампочек с (n+1)-й по (2n)-ю ни разу не меняла своего состояния. Найдите значение отношения NM.
Комментарий/решение:
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.