Математикадан 49-шы халықаралық олимпиада, 2008 жыл, Мадрид

$n$ және $k$ сандары $k\ge n$ болатындай натурал сандар, ал ($n-k$) — жұп сан. Әрбірі төмендегідей екі күйдің бірінде болатын, $1$, $2$, $\ldots $, $2n$ сандарымен нөмірленген $2n$ шам берілген: қосылған және өшірілген. Бастапқыда барлық шамдар өшіп тұрды. Реттелген жүрістер тізбегі қарастырылады: әрбір жүрісте дәл бір шам өзінің күйін қарсы күйге ауыстырады(қосылғаннан өшірілгенге, өшірілгеннен қосылғанға). $k$ жүрістен тұратын, 1-шіден $n$-ші шамға дейін барлық шамдар қосылған, ал $\left( n+1 \right)$-ден бастап $\left( 2n \right)$-ге дейін шамдар барлығы өшірілген күйде болатындай тізбектер санын $N$ деп белгілейміз.
$k$ жүрістен тұратын, 1-шіден $n$-ші шамға дейін барлық шамдар қосылған, ал $\left( n+1 \right)$-ден бастап $\left( 2n \right)$-ге дейін шамдар барлығы өшірілген, бірақ $\left( n+1 \right)$-ден бастап $\left( 2n \right)$-ге дейін шамдар өз күйін еш өзгертпейтін күйде болатындай тізбектер санын $M$ деп белгілейміз. $\dfrac{N}{M}$ қатынасының мәнін табыңыздар.