39-я Международная Математическая OлимпиадаТайвань, Тайбэй, 1998 год

Рассматриваются все функции $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ удовлетворяющие равенству $f\left( {{t}^{2}}f\left( s \right) \right)=s{{\left( f\left( t \right) \right)}^{2}}$ для любых натуральных $s$ и $t$. Найдите наименьшее возможное значение $f\left( 1998 \right)$.

Комментарий/решение

$$f(t^2f(s))=s(f(t))^2$$

$$\mathbb{D}(f)\in\mathbb{N}\Rightarrow t=1 \Rightarrow f(f(s))=s(f(1))^2$$

$$f(1)=a,(\forall a\in\mathbb{N})\Rightarrow f(f(s))=a^2s$$

$$s=1 \Rightarrow f(at^2)=(f(t))^2$$

$$t=s\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} f(f(s))=a^2s \\ f(as^2)=(f(s))^2 \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow f(x)=ax$$

$$f(1998)=1998a=\zeta(a)$$

$$\mathbb{D}(\zeta)\in\mathbb{N}\Rightarrow a=1\Rightarrow f_{min}(1998)=\zeta(1)=1998$$