33-я Международная Математическая OлимпиадаРоссия, Москва, 1992 год

Для любого положительного целого числа $n$ обозначим через $S\left( n \right)$ наибольшее целое число такое, что при любом целом $k$, $1\le k\le S\left( n \right)$ число ${{n}^{2}}$ может быть представлено в виде суммы $k$ квадратов целых положительных чисел.
а) Доказать, что $S\left( n \right)\le {{n}^{2}}-14$ при любом $n\ge 4$.
б) Найти целое число $n$ такое, что $S\left( n \right)={{n}^{2}}-14$.
в) Доказать, что существует бесконечно много целых чисел $n$ таких, что $S\left( n \right)={{n}^{2}}-14$.

Комментарий/решение

Эх,щясь бы вернуться на это время