33-я Международная Математическая Oлимпиада
Россия, Москва, 1992 год
Задача №1. Найти все целые числа a,b,c такие, что 1<a<b<c и число (a−1)(b−1)(c−1) является делителем числа abc−1.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Пусть R — множество всех действительных чисел. Найти все функции f:R→R такие, что f(x2+f(y))=y+f2(x) для всех x,y из R.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. В пространстве даны 9 точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Все эти точки попарно соединены отрезками. Отрезок может быть закрашен в синий или красный цвет или остаться незакрашенным. Найти наименьшее значение n такое, что при любом закрашивании любых n отрезков найдется треугольник, все стороны которого будут закрашены в один цвет.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. На плоскости даны окружность C, прямая l, касающаяся C, и точка M на l. Найти множество всех точек P, удовлетворяющих следующему условию: существуют две такие точки Q и R, лежащие на l, что M — середина QR и окружность C вписана в треугольник PQR.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. Пусть Oxyz — прямоугольная система координат в пространстве, S — конечное множество точек пространства и Sx, Sy, Sz — множество ортогональных проекций точек S на плоскости Oyz, Ozx, Oxy соответственно. Доказать, что |S2|≤|Sx|⋅|Sy|⋅|Sz|.
(Через |A| обозначается количество элементов конечного множества A. Ортогональная проекция точки на плоскость есть основание перпендикуляра, проведенного из этой точки на плоскость.)
комментарий/решение
(Через |A| обозначается количество элементов конечного множества A. Ортогональная проекция точки на плоскость есть основание перпендикуляра, проведенного из этой точки на плоскость.)
комментарий/решение
Задача №6. Для любого положительного целого числа n обозначим через S(n) наибольшее целое число такое, что при любом целом k, 1≤k≤S(n) число n2 может быть представлено в виде суммы k квадратов целых положительных чисел.
а) Доказать, что S(n)≤n2−14 при любом n≥4.
б) Найти целое число n такое, что S(n)=n2−14.
в) Доказать, что существует бесконечно много целых чисел n таких, что S(n)=n2−14.
комментарий/решение(1)
а) Доказать, что S(n)≤n2−14 при любом n≥4.
б) Найти целое число n такое, что S(n)=n2−14.
в) Доказать, что существует бесконечно много целых чисел n таких, что S(n)=n2−14.
комментарий/решение(1)