33-я Международная Математическая Oлимпиада
Россия, Москва, 1992 год

Задача №1.  Найти все целые числа $a,b,c$ такие, что $1 < a < b < c$ и число $\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)\left( c-1 \right)$ является делителем числа $abc-1$.
комментарий/решение(3)

---

Задача №2.  Пусть $\mathbb{R}$ — множество всех действительных чисел. Найти все функции $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ такие, что $f\left( {{x}^{2}}+f\left( y \right) \right)=y+{{f}^{2}}\left( x \right)$ для всех $x,y$ из $\mathbb{R}$.
комментарий/решение(3)

---

Задача №3.  В пространстве даны 9 точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Все эти точки попарно соединены отрезками. Отрезок может быть закрашен в синий или красный цвет или остаться незакрашенным. Найти наименьшее значение $n$ такое, что при любом закрашивании любых $n$ отрезков найдется треугольник, все стороны которого будут закрашены в один цвет.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  На плоскости даны окружность $C$, прямая $l$, касающаяся $C$, и точка $M$ на $l$. Найти множество всех точек $P$, удовлетворяющих следующему условию: существуют две такие точки $Q$ и $R$, лежащие на $l$, что $M$ — середина $QR$ и окружность $C$ вписана в треугольник $PQR$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №5.  Пусть $Oxyz$ — прямоугольная система координат в пространстве, $S$ — конечное множество точек пространства и ${{S}_{x}}$, ${{S}_{y}}$, ${{S}_{z}}$ — множество ортогональных проекций точек $S$ на плоскости $Oyz$, $Ozx$, $Oxy$ соответственно. Доказать, что $\left| {{S}^{2}} \right|\le \left| {{S}_{x}} \right|\cdot \left| {{S}_{y}} \right|\cdot \left| {{S}_{z}} \right|$.
(Через $\left| A \right|$ обозначается количество элементов конечного множества $A$. Ортогональная проекция точки на плоскость есть основание перпендикуляра, проведенного из этой точки на плоскость.)
комментарий/решение

---

Задача №6.  Для любого положительного целого числа $n$ обозначим через $S\left( n \right)$ наибольшее целое число такое, что при любом целом $k$, $1\le k\le S\left( n \right)$ число ${{n}^{2}}$ может быть представлено в виде суммы $k$ квадратов целых положительных чисел.
а) Доказать, что $S\left( n \right)\le {{n}^{2}}-14$ при любом $n\ge 4$.
б) Найти целое число $n$ такое, что $S\left( n \right)={{n}^{2}}-14$.
в) Доказать, что существует бесконечно много целых чисел $n$ таких, что $S\left( n \right)={{n}^{2}}-14$.
комментарий/решение

---