Математикадан 33-ші халықаралық олимпиада, 1992 жыл, Москва

Есеп №1.

$\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)\left( c-1 \right)$ саны

$abc-1$ санының бөлгіші болатын және

$1 < a < b < c$ орындалатындай

$a,b,c$ барлық бүтін сандарын табыңыздар.
комментарий/решение(3)

Есеп №2.

$\mathbb{R}$ — нақты сандар жиыны болсын. Кез келген

$x,y \in \mathbb{R}$ үшін

$f\left( {{x}^{2}}+f\left( y \right) \right)=y+{{f}^{2}}\left( x \right)$ теңдеуін қанағаттандыратын барлық

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын табыңыздар.
комментарий/решение(3)

Есеп №3. Кеңістікте ешбір төртеуі бір жазықтықта жатпайтын 9 нүкте берілген. Бұл нүктелердің әрбір екеуі өзара кесіндімен қосылған. Кесінді не көк түске не қызыл түске боялуы мүмкін немесе мүлде боялмауы мүмкін.

$n$ кесіндіні кез келген бояуда барлық қабырғасы бір түске боялатын үшбұрыш табылатындай

$n$ мәнінің ең кіші мәнін табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Жазықтықта

$C$ шеңбері, оны жанайтын

$l$ түзуі және

$l$ түзуінің бойында жататын

$M$ нүктесі берілген. Келесі шартты қанағаттандыратындай барлық

$P$ нүктелер жиынын табыңыздар:

$M$ —

$QR$ ортасы болатын және

$C$ шеңбері

$PQR$ үшбұрышына іштей сызылатындай

$l$ түзуінің бойында

$Q$ және

$R$ нүктелері табылады.
комментарий/решение(2)

Есеп №5.

$Oxyz$ — кеңістіктегі тікбұрышты координаталар жүйесі,

$S$ — кеңістіктің шекті нүктелер жиыны және

${{S}_{x}}$ ,

${{S}_{y}}$ ,

${{S}_{z}}$ —

$S$ нүктелерінің сәйкесінше

$Oyz$ ,

$Ozx$ ,

$Oxy$ жазықтықтарына түсірілген ортогональ проекциялар жиыны болсын.

$\left| {{S}^{2}} \right|\le \left| {{S}_{x}} \right|\cdot \left| {{S}_{y}} \right|\cdot \left| {{S}_{z}} \right|$ екенін дәлелдеңіздер.
(

$\left| A \right|$ арқылы

$A$ шекті жиынының элементтер саны белгіленеді. Берілген нүктеден жазықтыққа түсірілген перпендикулярдың табанын жазықтыққа түсірілген ортогональ проекция деп айтады.)
комментарий/решение

Есеп №6. Кез келген оң бүтін

$n$ саны үшін кез келген

$k$ ,

$1\le k\le S\left( n \right)$ бүтін санын қарастырғанда

${{n}^{2}}$ саны

$k$ бүтін сандар квадраттарының қосындысы ретінде жазылатындай ең үлкен бүтін санды

$S\left( n \right)$ деп алайық.
а) Кез келген

$n\ge 4$ үшін

$S\left( n \right)\le {{n}^{2}}-14$ дәлелдеңдер.
б)

$S\left( n \right)={{n}^{2}}-14$ болатындай

$n$ бүтін санын табыңдар.
в)

$S\left( n \right)={{n}^{2}}-14$ болатындай

$n$ бүтін саны шексіз табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

результаты