қазақша
русскийМатематикадан 33-ші халықаралық олимпиада, 1992 жыл, Москва
Есеп №1. $\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)\left( c-1 \right)$ саны $abc-1$ санының бөлгіші болатын және $1 < a < b < c$ орындалатындай $a,b,c$ барлық бүтін сандарын табыңыздар.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. $\mathbb{R}$ — нақты сандар жиыны болсын. Кез келген $x,y \in \mathbb{R}$ үшін $f\left( {{x}^{2}}+f\left( y \right) \right)=y+{{f}^{2}}\left( x \right)$ теңдеуін қанағаттандыратын барлық $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын табыңыздар.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №3. Кеңістікте ешбір төртеуі бір жазықтықта жатпайтын 9 нүкте берілген. Бұл нүктелердің әрбір екеуі өзара кесіндімен қосылған. Кесінді не көк түске не қызыл түске боялуы мүмкін немесе мүлде боялмауы мүмкін. $n$ кесіндіні кез келген бояуда барлық қабырғасы бір түске боялатын үшбұрыш табылатындай $n$ мәнінің ең кіші мәнін табыңыздар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Жазықтықта $C$ шеңбері, оны жанайтын $l$ түзуі және $l$ түзуінің бойында жататын $M$ нүктесі берілген. Келесі шартты қанағаттандыратындай барлық $P$ нүктелер жиынын табыңыздар: $M$ — $QR$ ортасы болатын және $C$ шеңбері $PQR$ үшбұрышына іштей сызылатындай $l$ түзуінің бойында $Q$ және $R$ нүктелері табылады.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №5. $Oxyz$ — кеңістіктегі тікбұрышты координаталар жүйесі, $S$ — кеңістіктің шекті нүктелер жиыны және ${{S}_{x}}$, ${{S}_{y}}$, ${{S}_{z}}$ — $S$ нүктелерінің сәйкесінше $Oyz$, $Ozx$, $Oxy$ жазықтықтарына түсірілген ортогональ проекциялар жиыны болсын. $\left| {{S}^{2}} \right|\le \left| {{S}_{x}} \right|\cdot \left| {{S}_{y}} \right|\cdot \left| {{S}_{z}} \right|$ екенін дәлелдеңіздер.
($\left| A \right|$ арқылы $A$ шекті жиынының элементтер саны белгіленеді. Берілген нүктеден жазықтыққа түсірілген перпендикулярдың табанын жазықтыққа түсірілген ортогональ проекция деп айтады.)
комментарий/решение
($\left| A \right|$ арқылы $A$ шекті жиынының элементтер саны белгіленеді. Берілген нүктеден жазықтыққа түсірілген перпендикулярдың табанын жазықтыққа түсірілген ортогональ проекция деп айтады.)
комментарий/решение
Есеп №6. Кез келген оң бүтін $n$ саны үшін кез келген $k$, $1\le k\le S\left( n \right)$ бүтін санын қарастырғанда ${{n}^{2}}$ саны $k$ бүтін сандар квадраттарының қосындысы ретінде жазылатындай ең үлкен бүтін санды $S\left( n \right)$ деп алайық.
а) Кез келген $n\ge 4$ үшін $S\left( n \right)\le {{n}^{2}}-14$ дәлелдеңдер.
б) $S\left( n \right)={{n}^{2}}-14$ болатындай $n$ бүтін санын табыңдар.
в) $S\left( n \right)={{n}^{2}}-14$ болатындай $n$ бүтін саны шексіз табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение
а) Кез келген $n\ge 4$ үшін $S\left( n \right)\le {{n}^{2}}-14$ дәлелдеңдер.
б) $S\left( n \right)={{n}^{2}}-14$ болатындай $n$ бүтін санын табыңдар.
в) $S\left( n \right)={{n}^{2}}-14$ болатындай $n$ бүтін саны шексіз табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение