Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

33-я Международная Математическая Oлимпиада
Россия, Москва, 1992 год


На плоскости даны окружность C, прямая l, касающаяся C, и точка M на l. Найти множество всех точек P, удовлетворяющих следующему условию: существуют две такие точки Q и R, лежащие на l, что M — середина QR и окружность C вписана в треугольник PQR.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
3 года 11 месяца назад #

Пусть T - точка, где C касается L, T - точка, диаметрально противоположная T на C, а S - отражение T над M. Мы утверждаем, что ГМТ - это луч с конечной точкой T, направленный по направлению от S к T, не включая T.

Хорошо известно, что для выполнения заданных условий необходимо, чтобы P, T и S были коллинеарны (рассмотрим гомотетию в P, которая направляет C на окружность P, где S - точка касания окружности с ¯QR). Таким образом, P должна лежать на прямой ¯TS. Однако, если P ближе к S, чем T или P=T, то невозможно провести касательные ¯PQ и ¯PR так, чтобы C была окружностью.

Чтобы показать, что все точки в ГМТ работают, выберем любую точку P и пусть ее касательная к C пересекает L в точках Q и R. Поскольку средняя точка M из ¯PQ является единственной точкой, такой, что T является отражением S через M, мы должны иметь M=M, что завершает доказательство.

  0
7 месяца 5 дней назад #

При гомотетии переводящий вписаную окружность в вневписаную T=>S отсюда следует колинеарность