33-я Международная Математическая Oлимпиада
Россия, Москва, 1992 год
Комментарий/решение:
Пусть T - точка, где C касается L, T′ - точка, диаметрально противоположная T на C, а S - отражение T над M. Мы утверждаем, что ГМТ - это луч с конечной точкой T′, направленный по направлению от S к T′, не включая T′.
Хорошо известно, что для выполнения заданных условий необходимо, чтобы P, T′ и S были коллинеарны (рассмотрим гомотетию в P, которая направляет C на окружность P, где S - точка касания окружности с ¯QR). Таким образом, P должна лежать на прямой ¯T′S. Однако, если P ближе к S, чем T′ или P=T′, то невозможно провести касательные ¯PQ и ¯PR так, чтобы C была окружностью.
Чтобы показать, что все точки в ГМТ работают, выберем любую точку P и пусть ее касательная к C пересекает L в точках Q и R. Поскольку средняя точка M′ из ¯PQ является единственной точкой, такой, что T является отражением S через M′, мы должны иметь M′=M, что завершает доказательство.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.