15-я Балканская математическая олимпиада среди юниоровЛарнака, Кипр, 2011 год

Равносторонний треугольник прямыми, параллельными его сторонам, разбит на $n^2$ ($n \ge 3$ — натуральное число) равных равносторонних треугольников. Пусть $m$ — количество ромбов, образованных двумя меньшими треугольниками, а $d$ — количество ромбов, образованных восемью меньшими треугольниками. Выразите разность $m-d$ через $n$.

Комментарий/решение

Разбитие на $n^2$ сторон происходит $n-1$ отрезками параллельными сторонам, так как получаем треугольников в сумме которых $1+2+...+n = n^2$ .

1) для $m$ разобьём количество ромбов на две группы, вертикальные ромбы и "под углом".

Вертикальные ромбы очевидно будут в количестве $1+2+...+n-1=\dfrac{n(n-1)}{2}$.

Ромбов второго вида очевидно будут в количестве в два раза больше чем вертикальных.

Тогда $m = \dfrac{3n(n-1)}{2}$

2) для $d$ отметим что их количество будет считаться для каждой вершины то есть $3$, для одной вершины отметим что для $n \geq 4$ так как $n=3, d=0$ их количество есть сумма $1+2+...n-3$ которую можно показать при помощи индукции.

тогда $d= \dfrac{3(n-2)(n-3)}{2}$

3) $m-d = \dfrac{3}{2}(n^2-n-n^2+5n-6) = 6n-9$