Processing math: 100%

15-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Ларнака, Кипр, 2011 год


Задача №1.  Пусть a, b, c — положительные действительные числа такие, что abc=1. Докажите, что (a5+a4+a3+a2+a+1)8(a2+a+1)(b2+b+1)(c2+c+1). (Произведение берется по всем переменным.)
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Найдите все простые числа p такие, что существуют натуральные числа x и y, удовлетворяющие условию x(y2p)+y(x2p)=5p.
комментарий/решение(7)
Задача №3.  Равносторонний треугольник прямыми, параллельными его сторонам, разбит на n2 (n3 — натуральное число) равных равносторонних треугольников. Пусть m — количество ромбов, образованных двумя меньшими треугольниками, а d — количество ромбов, образованных восемью меньшими треугольниками. Выразите разность md через n.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник. На сторонах AB и CD отмечены точки E и F таким образом, что ABAE=CDDF=n. Пусть S — площадь четырехугольника AEFD. Докажите, что SABCD+n(n1)AD2+n2DABC2n2.
комментарий/решение(1)
результаты