15-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Ларнака, Кипр, 2011 год
Задача №1. Пусть a, b, c — положительные действительные числа такие, что abc=1. Докажите, что ∏(a5+a4+a3+a2+a+1)≥8(a2+a+1)(b2+b+1)(c2+c+1). (Произведение берется по всем переменным.)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Найдите все простые числа p такие, что существуют натуральные числа x и y, удовлетворяющие условию x(y2−p)+y(x2−p)=5p.
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)
Задача №3. Равносторонний треугольник прямыми, параллельными его сторонам, разбит на n2 (n≥3 — натуральное число) равных равносторонних треугольников. Пусть m — количество ромбов, образованных двумя меньшими треугольниками, а d — количество ромбов, образованных восемью меньшими треугольниками. Выразите разность m−d через n.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник. На сторонах AB и CD отмечены точки E и F таким образом, что ABAE=CDDF=n. Пусть S — площадь четырехугольника AEFD. Докажите, что S≤AB⋅CD+n(n−1)AD2+n2DA⋅BC2n2.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)