Математикадан жасөспірімдер арасындағы 15-ші Балкан олимпиадасы 2011 жыл, Ларнака, Кипр

Есеп №1.

$a$ ,

$b$ ,

$c$ сандары

$abc=1$ орындалатындай оң нақты сандар болсын. Дәлелдеңіздер:

$\prod (a^5+a^4+a^3+a^2+a+1)\ge 8(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1).$ (Көбейтінді барлық айнымалы бойынша алынады.)
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Төмендегі шартты қанағаттандыратындай

$x$ және

$y$ натурал сандары табылатындай барлық

$p$ жай сандарын табыңыздар:

$x(y^2-p)+y(x^2-p)=5p.$
комментарий/решение(7)

Есеп №3. Теңқабырғалы үшбұрыш қабырғаларына параллель түзулермен бір-біріне тең

$n^2$ теңқабырғалы үшбұрыштарға бөлінді.

$m$ — екі кіші үшбұрыштармен құралған ромбтар саны болсын, ал

$d$ — сегіз кіші үшбұрыштармен құралған ромбтар саны болсын.

$m-d$ айырымын

$n$ арқылы өрнектеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$ABCD$ — дөңес төртбұрыш болсын.

$AB$ және

$CD$ қабырғаларында

$\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{CD}{DF}=n$ болатындай

$E$ және

$F$ нүктелері белгіленген.

$S$ —

$AEFD$ төртбұрышының ауданы болсын. Дәлелдеңіздер:

$S \le \dfrac{AB \cdot CD+n(n-1) AD^2+n^2DA \cdot BC}{2n^2}.$
комментарий/решение(1)

результаты