15-я Балканская математическая олимпиада среди юниоровЛарнака, Кипр, 2011 год

Найдите все простые числа $p$ такие, что существуют натуральные числа $x$ и $y$, удовлетворяющие условию $$x(y^2-p)+y(x^2-p)=5p.$$

Комментарий/решение

Ответ:$p=3$

Решение : Преобразуем выражение $$xy^2+yx^2=px+py+5p$$ $$xy (x+y)=p (5+x+y)$$ $p$ делится только на $p$ и $1$ так как по условию $p$- простое. Поэтому рассмотрим 2 случая

Случай 1 $p=x$ или $p=y$ эти случаи аналогичные, рассмотрим только один. $$py (p+y)=p(5+p+y)$$ $$p=\dfrac{5+y-y^2}{y-1}$$ $$p=-y+\dfrac {5}{y-1}$$ Отсюда $y=2$ и $y=6$ отсюда $p=3$

Случай 2. $p=xy$ отсюда $x=1;y=p$; $x=p;y=1$. Подстановкой убеждаемся, что корней нет

Неправильное решение, есть случай где p=2

Мне интересно сколько решений у $1234567$ не правильно?

Много наверное. Я учился в обычной средней школе, и до всего доходил сам. Уровень мой- максимум 2ое место на области. Так что, я думаю простительно иметь столько ошибок.

Благодарен, что вы указвыаете на мои ошибки!

Каждый человек допускает ошибки, не расстраивайтесь. Вы всё являетесь одним из первых пользователей $matol$. И критикуя ваши задачи у меня появилась мотивация скидывать решение)

это смотря еще какая область)

(ох эти ваши решения геометрии с координатами, там же очень много действии, надеюсь нет ошибок)

Получаем, что $xy(x+y)=p(x+y+5)$, случай $1: xy$ делится на $p$, пусть $xy=pk$, Тогда $k(x+y)=x+y+5.$ Замечаем, что при $k>4 x+y<3/5<2$, противоречие, рассмотрим $k=1,2,3$, находим, что при $(x,y)=(1,4) p=2$, а при $(x,y)=(2,3) p=3.$

Случай $2: x+y$ делится на $p, xy(x+y)-p(x+y)=5p, \Rightarrow 5p$ делится на $x+y$. Если $x+y=pk$, то $5p$ делится на $pk, \Rightarrow k=1,5$. Если $k=1, то p=7$, а если $k=5$, разбираем некоторые случаи, выходим на противоречие.

Ответ: $p=2,3,7$