Математикадан жасөспірімдер арасындағы 15-ші Балкан олимпиадасы 2011 жыл, Ларнака, Кипр

Теңқабырғалы үшбұрыш қабырғаларына параллель түзулермен бір-біріне тең $n^2$ теңқабырғалы үшбұрыштарға бөлінді. $m$ — екі кіші үшбұрыштармен құралған ромбтар саны болсын, ал $d$ — сегіз кіші үшбұрыштармен құралған ромбтар саны болсын. $m-d$ айырымын $n$ арқылы өрнектеңіздер.

Комментарий/решение

Разбитие на $n^2$ сторон происходит $n-1 $ отрезками параллельными сторонам, так как получаем треугольников в сумме которых $1+2+...+n = n^2$ .

1) для $m$ разобьём количество ромбов на две группы, вертикальные ромбы и "под углом".

Вертикальные ромбы очевидно будут в количестве $1+2+...+n-1=\dfrac{n(n-1)}{2}$.

Ромбов второго вида очевидно будут в количестве в два раза больше чем вертикальных.

Тогда $m = \dfrac{3n(n-1)}{2}$

2) для $d$ отметим что их количество будет считаться для каждой вершины то есть $3$, для одной вершины отметим что для $n \geq 4$ так как $n=3, d=0$ их количество есть сумма $1+2+...n-3$ которую можно показать при помощи индукции.

тогда $d= \dfrac{3(n-2)(n-3)}{2}$

3) $m-d = \dfrac{3}{2}(n^2-n-n^2+5n-6) = 6n-9$