14-я Балканская математическая олимпиада среди юниоровЖудец Вылча, Румыния, 2010 год

Прямоугольник $9 \times 7$ замощен фигурами двух типов:
1) уголок, состоящий из трёх единичных квадратиков (уголок можно неоднократно поворачивать на $90^\circ$);
2) квадрат, состоящий из четырёх единичных квадратиков.
Пусть $n \ge 0$ — количество фигур второго типа, используемых в замощении. Найдите всевозможные значения $n$.

Комментарий/решение

Раскрасим доску в раскраску окошки. Затем обозначим кол-во фигур 1 типа k, а второго n. У нас закрашенных черных клеток будет 20. И каждая фигура имеет не больше 1 черной клетки. Тогда у нас выйдет из этого то что сумма k и n больше равно 20.

k+n>=20 умножим обе стороны на 3 у нас выйдет что 3(k+n)>=60. Ещё из условие мы можем сказать что 3k+4n=63 отнимем от равенства неравенства получится что n=<3 и из 3k+4n=63 мы можем сказать что n делится на 3. Тогда все возможные значения n это 0,3 осталось просто найти пример.

Ответ:3,0