9-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Верия, Греция, 2005 год

Остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность $k$. Касательная прямая к окружности $k$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Точка $M$ — середина отрезка $AP$. Прямая $BM$ во второй раз пересекает окружность $k$ в точке $R$, а прямая $PR$ во второй раз пересекает окружность $k$ в точке $S$. Докажите, что прямые $AP$ и $CS$ параллельны.

Комментарий/решение

Пусть $PRAL$ - параллелограмм, $\angle BAP=\angle BRA=\angle PLR, \Rightarrow P,B,A,L \in \omega$. Также $\angle LAP=\angle APR=\angle LPB=\angle RBC$, но $\angle RSC=180-\angle RBC=180-\angle APR$, $$\angle APR+\angle RSC=180, \Rightarrow CS \parallel AP$$

Поскольку $AM$ - касательная к окружности k, то $AM^2 = MR \cdot MB$. Так как $AM = PM$ , то $AM^2 = PM^2 = MR \cdot MB \Rightarrow PM$ - касательная к описанной окружности $\triangle BPR$ и $\angle RSC = \angle RBC = \angle MPR \Rightarrow$ $AP$ и

$CS$ параллельны.