Processing math: 100%

9-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Верия, Греция, 2005 год


Задача №1.  Найдите все пары натуральных чисел (x,y), удовлетворяющих уравнению 9(x2+y2+1)+2(3xy+2)=2005.
комментарий/решение(3)
Задача №2.  Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность k. Касательная прямая к окружности k в точке A пересекает прямую BC в точке P. Точка M — середина отрезка AP. Прямая BM во второй раз пересекает окружность k в точке R, а прямая PR во второй раз пересекает окружность k в точке S. Докажите, что прямые AP и CS параллельны.
комментарий/решение(2)
Задача №3.  Докажите, что можно выбрать
(a) 5 точек на плоскости так, что среди всех треугольников с вершинами в этих точках найдутся 8 прямоугольных;
(b) 64 точек на плоскости так, что среди всех треугольников с вершинами в этих точках найдутся не менее 2005 прямоугольных.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Найдите все трёхзначные числа ¯abc, для которых выполняется равенство ¯abc=abc(a+b+c), где ¯abc — десятичная запись числа, записанные цифрами a,b,c.
комментарий/решение