1. Олимпиадалар тізімі
  2. Математика олимпиадалары
  3. Халықаралық олимпиадалар
  4. Математикадан жасөспірімдер арасындағы Балкан олимпиадасы (JBMO)
  5. JBMO 2005

Математикадан жасөспірімдер арасындағы 9-шы Балкан олимпиадасы 2005 жыл, Верия, Греция


Есеп №1. Төмендегі теңдеуді қанағаттандыратындай барлық $(x,y)$ натурал сандар жұптарын табыңыздар: $ 9(x^2+y^2+1) + 2(3xy+2) = 2005. $
комментарий/решение(3)
Есеп №2. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышы $k$ шеңберіне іштей сызылған. $k$ шеңберіне $A$ нүктесінде жүргізілген жанама $BC$ түзуін $P$ нүктесінде қияды. $M$ — $AP$ кесіндісінің ортасы. $BM$ түзуі екінші рет $k$ шеңберін $R$ нүктесінде қияды, ал $PR$ түзуі екінші рет $k$ шеңберін $S$ нүктесінде қияды. $AP$ және $CS$ түзулері параллель екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)
Есеп №3. (а) төбелері осы нүктелерде болатын үшбұрыштардың ішінен 8 тікбұрышты табылатындай жазықтықта 5 нүкте таңдауға болатынын дәлелдеңіздер.
(b) төбелері осы нүктелерде болатын үшбұрыштардың ішінен кем дегенде 2005 тікбұрышты табылатындай жазықтықта 64 нүкте таңдауға болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Төмендегідей теңдік орындалатындай барлық $\overline{abc}$ үштаңбалы сандарын табыңыздар $ \overline{abc} = abc(a+b+c) ,$ мұндағы $\overline{abc}$ — $a,b,c$ цифрларымен жазылған санның ондық жазбасы.
комментарий/решение