Математикадан жасөспірімдер арасындағы 9-шы Балкан олимпиадасы 2005 жыл, Верия, Греция

Есеп №1. Төмендегі теңдеуді қанағаттандыратындай барлық

$(x,y)$ натурал сандар жұптарын табыңыздар:

$9(x^2+y^2+1) + 2(3xy+2) = 2005.$
комментарий/решение(3)

Есеп №2. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышы

$k$ шеңберіне іштей сызылған.

$k$ шеңберіне

$A$ нүктесінде жүргізілген жанама

$BC$ түзуін

$P$ нүктесінде қияды.

$M$ —

$AP$ кесіндісінің ортасы.

$BM$ түзуі екінші рет

$k$ шеңберін

$R$ нүктесінде қияды, ал

$PR$ түзуі екінші рет

$k$ шеңберін

$S$ нүктесінде қияды.

$AP$ және

$CS$ түзулері параллель екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

Есеп №3. (а) төбелері осы нүктелерде болатын үшбұрыштардың ішінен 8 тікбұрышты табылатындай жазықтықта 5 нүкте таңдауға болатынын дәлелдеңіздер.
(b) төбелері осы нүктелерде болатын үшбұрыштардың ішінен кем дегенде 2005 тікбұрышты табылатындай жазықтықта 64 нүкте таңдауға болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Төмендегідей теңдік орындалатындай барлық

$\overline{abc}$ үштаңбалы сандарын табыңыздар

$\overline{abc} = abc(a+b+c) ,$ мұндағы

$\overline{abc}$ —

$a,b,c$ цифрларымен жазылған санның ондық жазбасы.
комментарий/решение