Математикадан жасөспірімдер арасындағы 9-шы Балкан олимпиадасы 2005 жыл, Верия, Греция

Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышы $k$ шеңберіне іштей сызылған. $k$ шеңберіне $A$ нүктесінде жүргізілген жанама $BC$ түзуін $P$ нүктесінде қияды. $M$ — $AP$ кесіндісінің ортасы. $BM$ түзуі екінші рет $k$ шеңберін $R$ нүктесінде қияды, ал $PR$ түзуі екінші рет $k$ шеңберін $S$ нүктесінде қияды. $AP$ және $CS$ түзулері параллель екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Пусть $PRAL$ - параллелограмм, $\angle BAP=\angle BRA=\angle PLR, \Rightarrow P,B,A,L \in \omega$. Также $\angle LAP=\angle APR=\angle LPB=\angle RBC$, но $\angle RSC=180-\angle RBC=180-\angle APR$, $$\angle APR+\angle RSC=180, \Rightarrow CS \parallel AP$$

Поскольку $AM$ - касательная к окружности k, то $AM^2 = MR \cdot MB$. Так как $AM = PM$ , то $AM^2 = PM^2 = MR \cdot MB \Rightarrow PM$ - касательная к описанной окружности $\triangle BPR$ и $\angle RSC = \angle RBC = \angle MPR \Rightarrow$ $AP$ и

$CS$ параллельны.