Математикадан жасөспірімдер арасындағы 6-шы Балкан олимпиадасы 2002 жыл, Тыргу-Муреш, Румыния

$ABC$ үшбұрышында $CA = CB$. $P$ нүктесі үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің $C$ нүктесі жатпайтын $AB$ доғасында жатады. $D$ — $C$ нүктесінен $PB$ түзуіне түсірілген перпендикуляр табаны. $PA + PB = 2 \cdot PD$ екенін дәлелдеңіздер. ( Greece )

Комментарий/решение

Продлим $PB$ так чтобы $BD=DN$ , $N \in PB$ тогда получим , что надо доказать $PN=AP$ , которая следует из того что $\angle CAP = \angle CNP$ так же $\angle APC = \angle BPC$ так как треугольник равнобедренный , и $\angle ACP = \angle PCN$ , то есть $AP = PN$ .

Разве вы продлеваете $PB$? Вы же берете точку на стороне $PB$

Возьмем точку $N$ на $PB$, что $DN=DB$ (мы можем это сделать, так как $PC>PB$, то есть $PD>DB$), тогда осталось доказать, что $PA=PN$, что следует из равенства треугольников $PAC$ и $PCN$, что можно доказать простым счетом углов.

упс, такое решение уже есть

хаахах, ну и ну..

я подумал, что он продлевает $PB$ и не стал дочитывать, ведь я же не продлеваю, только потом решил прочесть полностью...

мораль всей басни такова:

морали нет, идем звать Abensad'а рассказать её!

Спасибо за этот интересный рассказ, Mopsichek-кун!