5-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Никосия, Кипр, 2001 год

Пусть $N$ — выпуклый 1415-угольник с периметром 2001. Докажите, что существует 3 вершины из $N$, которые образуют треугольник площади, меньше 1. ( Yugoslavia )

Комментарий/решение

Допустим, что не найдется пара сторон, имеющие общий угол, что их сумма $\leq \frac{4002}{1415}$, тогда $P=2001 > \frac{4002}{1415} \cdot 1415 \cdot \frac{1}{2}=2001$, противоречие, $\Rightarrow$ найдется такой случай. Рассмотрим площадь этого треугольника, он будет $\frac{1}{2}absin\alpha$, но так как $a+b \leq \frac{4002}{1415}$, то $ab \leq (\frac{2001}{1415})^2=1,99977...<2$, тогда $S=\frac{1}{2}absin\alpha < \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1=1$, ч.т.д.