Математикадан жасөспірімдер арасындағы 2-ші Балкан олимпиадасы 1998 жыл, Афины, Греция

$S$ — қабырғасы 20 болатын квадрат, $S$ квадратының төбелері және $S$ ішінде жататын 1999 нүктелер $M$ нүктелер жиынын құрайды. $M$ жиынынан ауданы $\dfrac 1{10}$-ден аспайтын үшбұрыш құрайтындай үш нүкте табылатынын дәлелдеңіздер. ( Yugoslavia )

Комментарий/решение

Официальное решение: триануглируем (разбиваем на треугольники) наш квадрадрат, получается $2 \cdot (1999+1)=4000$ треугольников (можно доказать по индукции), а общая площадь равна $20 \cdot 20=400$, тогда, по принципу Дирихле, найдется треугольник, площадь которого $\leq \frac{400}{4000}=0,1$