Математикадан аудандық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 10 сынып

Теңдеулер жүйесін шешіңіз: $\left\{ \begin{array}{l} {x^{2006}} + {y^{2006}} + {z^{2006}} = 2,\\ {x^{2007}} + {y^{2007}} + {z^{2007}} = 2,\\ {x^{2008}} + {y^{2008}} + {z^{2008}} = 2. \end{array} \right.$

Комментарий/решение

Пронумеруем уравнения от 1 до 3 сверху вниз . Из второго вычтем первое и получим $x^{2006}(x-1)+y^{2006}(y-1)+z^{2006}(z-1)=0$.(4) . Из третьего вычтем второе и получим $x^{2007}(x-1)+y^{2007}(y-1)+z^{2007}(z-1)=0$.(5) .Из 5 вычтем 4 и получим$ x^{2006}(x-1)(x-1)+y^{2006}(y-1)(y-1)+z^{2006}(z-1)(z-1)=0$. Если сумма квадратов равна 0 , то каждый из них равен 0.

Ответ: 1)$x=0,y=1,z=1$

2)$x=1,y=0,z=1$

3)$x=1,y=1,z=0$