Математикадан жасөспірімдер арасындағы 3-ші Балкан олимпиадасы 1999 жыл, Пловдив, Болгария

$ABCDE$ бесбұрышы $AB=AE=CD=1$, $\angle ABC=\angle DEA=90^\circ$ және $BC+DE=1$ болатын дөңес бесбұрыш болсын. Бесбұрыш ауданын есептеңіздер. ( Greece )

Комментарий/решение

На стороне $CD$ отметим точку $H$ так, что $BC=CH$, $ED=DH$. Тогда $BC$, $CH$ - касательные из точки $C$, $ED$, $DE$ - касательные из точки $D$ окружности $\omega$ c центром в точке $A$ и радиусом $1$. Значит, $AH$ радиус, опущенный в точку касания окружности $\omega$ и прямой $CD$, тогда $\triangle ABC = \triangle AHC$, $\triangle AED = \triangle AHD$. Значит, $S_{ABCDE} = 2\cdot S_{ACD}=2\cdot \cfrac{AH \cdot CD}{2}=1$.