Математикадан жасөспірімдер арасындағы 3-ші Балкан олимпиадасы 1999 жыл, Пловдив, Болгария

$\underbrace{111\ldots 11}_{1997}\underbrace{22\ldots 22}_{1998}5$ саны (1997 бірліктен және 1998 екіліктен тұратын) толық квадрат екенін дәлелдеңіздер. ( Yugoslavia )

Комментарий/решение

$\underbrace{11\ldots 1}_{1997}\underbrace{22\ldots 2}_{1998}5=\underbrace{11\ldots 1}_{1997}\cdot10^{1999}+\underbrace{22\ldots 2}_{1998}\cdot 10 + 5=$

$=\cfrac{\overbrace{99\ldots 9}^{1997}\cdot 10^{1999}}{9}+\cfrac{2\cdot \overbrace{99\ldots 9}^{1998}\cdot 10}{9}+\cfrac{45}{9}=$

$=\cfrac{(10^{1997}-1)\cdot 10^{1999}+2\cdot(10^{1998}-1)\cdot 10+45}{9}=$

$=\cfrac{10^{3996}-10^{1999}+2\cdot 10^{1999}-20+45}{9}=\cfrac{10^{3996}+10^{1999}+25}{9}=$

$=\cfrac{\left(10^{1998}\right)^2+2\cdot 10^{1998}\cdot 5+5^2}{9}=\left(\cfrac{10^{1998}+5}{3}\right)^2$